[HarmlessLovableFuzzball]

He did NOT sing the full aria..at least its not in the clip.

[krb]

That's not what the OP meant by the full clip. He meant that it was (close to) Paul's full performance on the show. The full Aria is too long, doesn't have the right cadence for the format (it has an early climactic inflection with the "No, no, sulla tua bocca lo dirò, quando la luce splenderà!" line), and he didn't want the "voices of women" part (he shouldn't bring any competition on stage with him!).

Here's his edit of the piece, as far as I can tell:

Il principe ignoto

Nessun dorma! Nessun dorma! Tu pure, o Principessa,
nella tua fredda stanza
guardi le stelle
che tremano d'amore e di speranza...
Ma il mio mistero è chiuso in me,
il nome mio nessun saprà!
No, no, sulla tua bocca lo dirò,
quando la luce splenderà!
Ed il mio bacio scioglierà il silenzio
che ti fa mia.

Voci di donne

Il nome suo nessun saprà...
E noi dovrem, ahimè, morir, morir!

Il principe ignoto

Dilegua, o notte! Tramontate, stelle!
Tramontate, stelle! All'alba vincerò!
Vincerò! Vincerò!

[herMANroberts]

They cut the songs short. The girl on the Rainbow number only got in two verses.